주파수 분석장치의 이산 푸리에 변환(DFT, Discrete Fourier Transform)의 수식과 정의

 

목차

 

 

해당 포스트는 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성하였습니다.

 

 

이산 푸리에 변환(DFT, Discrete Fourier Transform)이란? 

 

제가 사용하는 분석장치가 주파수 변환해서 분석하는 장치인데 공업 수학 신호처리를 공부하게 된 근본적인 이유가 이번 포스트의 DFT(이산 푸리에 변환)과 FFT(Fast Fourier Transform)을 이해하기 위해서 였습니다. 

 

앞 시간에 공부한 연속 시간 푸리에 변환(CTFT, Continuous Fourier Transform)은 연속(Continous)한 측정 입력 값을 연속적(Continous)인 출력 주파수로 변환하였습니다(https://scribblinganything.tistory.com/644). 

 

그리고 다음으로 이산 시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Fourier Transform)은 이산(Discrete) 측정 입력 값을 연속적(Continous)인 출력 주파수로 변환하였습니다(https://scribblinganything.tistory.com/650). 

 

이번 시간에 학습할 이산 푸리에 변환(DFT)는 이산(Discrete) 측정 입력 값을 이산 출력 주파수로 표현하는 방식입니다. 즉, 앞전의 수식들은 수학에서 사용하는 방법이고 DFT는 컴퓨터와 같은 디지털(Digital) 처리 칩에서 이산으로된 디지털 값들을 받아서 이산 출력을 만들어 줍니다.  그리고 Tranform이 의미하는 바와 같이 1 대1 변환이 가능합니다. 링크에 나온 설명과 같이 신호와 오일러(Euler)함수 간의 직교성이 존재하기 때문에 1대 1 변환이 가능 합니다(https://scribblinganything.tistory.com/639).

 

 

 

위 그림과 같이 N개의 입력을 받아서 DSP(Digital Signal Process)칩에서 DFT로 처리해서 N개의 출력으로 내보냅니다.  

 

FFT는 DFT의 처리과정을 분산해서 빠르게 처리하는 방식입니다. 이는 다음장에 알아볼 DFT Matrix 처리 방법에서 다시 언급하겠습니다. 

 

이산푸리에 변환(DFT)의 정의는 아래와 같이 합니다.

0에서 N-1까지의 N개의 값을 가지는 신호 x[n]을 이산시간 푸리에 변환(DTFT)한 다음 이를 2π/N의 간격으로 표현한 변환입니다. (k x 2π/N, k=0, 1, 2, ... N-1)

 

 

 

 

 

이산 푸리에 변환 수식(Equation)

 

앞서 정의와 같이 DTFT 수식을 아래와 같이 가져 옵니다. 

 

수식(!)

 

수식(1)에서  N개의 포인트를 2π/N 포인트로 아래와 표현한 식이 DFT(이산 푸리에 변환)이 됩니다.

 

 

 

 

이와 같이 DFT가 정리됩니다. 실제 DTFT에서 라인으로 나오는 주파수 그래프는 DFT에서 라인 위에 포인트로 표기 됩니다.