라플라스 변환이란? 사용 이유와 ROC(Region of Convergence), a+bj

 

목차

 

 

해당 포스트는 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성하였습니다.

 

라플라스 변환(Laplace Transform)이란?

 

라플라스 변환은 간단하게 설명 드리면 푸리에 변환(Fourier Transform)의 확장 버전입니다.

 

수식1

위 수식1은 푸리에 변환 수식입니다. 

 

 

 

수식2

 

라플라스는 위와 같이 기존의 푸리에 변환에서 시그마(sigma, σ)를 지수로 추가해서 오메가의 식만이 아닌 시그마와 오메가의 식으로 만든 것입니다. 

 

 

수식3

s= σ+jω 로 변환해서 우리가 잘알고 있는 라플라스 변환 식을 위와 같이 만들 수 있습니다. 

 

 

수식4

 

역푸리에변환에 앞서처럼 시그마 지수를 곱하고 위와 같이 전개 하면 역라플라스(Inverse Laplace) 변환에 대한 식을 수식4와 같이 구할 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

 

라플라스 사용 이유와 ROC(Region of Convergence)

 

 

수식5

 

위와 같이 그래프를 그리는 수식5를 라플라스 변환을 해보겠습니다. 

 

수식6

 

수식6은 라플라스 변환의 결과 입니다. 여기서 s= σ+jω 이므로 무한대의 값을 입력했을 때 시그마 값이 음이냐 양에 따라 값이 발산할 수 도 있고 수렴을 할수도 있습니다. 

 

제어에서 발산의 의미는 제어가 되지 않음을 의미합니다. 수렴을 해야 원하는 값으로 일정하게 유지를 할 수 있게 되는 것입니다. 즉, 입력과 출력의 비인 전달함수(Transfer function)을 수렴하게 만드는 것이 제어에서는 중요합니다. 

 

이를 결정하는 것이 앞서 시그마 값입니다. 

 

그리고 수렴하게 만들어 주는 영역을 ROC라고 합니다. 

 

위 수식에서 σ가 3보다 클 경우 수식6은 수렴하게 됩니다. σ>3 인 경우 1/(s-3) 으로 수렴하게 됩니다. 

 

 

 

라플라스 변환은 제어가 가능한 시그마 영역을 확인할 수 있는 기능을 합니다. 시그마가 결정된 값에서의 변환한 것이 푸리에 변환 값입니다. 

 

 

위 그림을 3차원으로 표현하면 시그마 값을 자르고 단면을 보면 해당 값이 푸리에 변환 그래프 입니다.