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해당 글은 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성했습니다.
이산 시간 푸리에 시리즈란(Discrete Time Fourier Series, DTFS)?
앞서 연속 시간 푸리에 시리즈는 테일러 시리즈와 유사하게 사인 함수의 합으로 수식(1)과 같이 표현 됨을 알아보았습니다. 그리고 푸리에 시리즈의 계수(coefficient) 값은 오일러 함수가 서로 직교성(orthogonality)을 가지는 성질을 이용해서 내적을 통해 유도 해냈습니다https://scribblinganything.tistory.com/634.
이산 푸리에 시리즈(Discrete Time Fourier Series, DTFS)도 유사하게 구할 수 있습니다. 우선 DTFS를 표현하기 위해 주기를 표현 해야하는데 이산 도메인은 CTFS에서 ω를 2π/N으로 표현해서 주파수 성분을 표기합니다. 우선 DTFS를 수식으로 표현하고 수식의 의미에 대해 설명하겠습니다.
DTFS는 위와 같이 수식(2)로 표현 됩니다. 사실 유도 방식은 제대로 이해하진 못했지만 제가 생각하는 바로는 앞서 연속 시간 푸리에 함수(Continuous Time Fourier Series, CTFS)에서 이산 방식으로 처리를 하니 주기 개수 N의 반복으로 동일한 값이 반복됨을 확인하였고 이를 묶어서 계수값 ak로 표현 한 것으로 생각됩니다. 실제로 수식(2)에 k가 1인 값과 N+1은 계수 부분을 제외하고 동일하게 나옵니다.
시그마에 k=<N>는 N 주기 중에 중복되지 않는 값의 모음입니다.
이산 시간 푸리에 시리즈 계수 구하기
앞서 수식(2)의 계수값 ak를 구해보도록 하겠습니다. ak를 구하는 방법은 CTFS와 유사합니다(https://scribblinganything.tistory.com/634). 수식(2)를 아래와 같이 새로운 오일러 지수로 시그마로 처리 해줍니다. 사실 이렇게 처리해서 ak가 나오는 이유는 정확하게 알 수 없지만 오일러 지수끼리 없애고 ak만을 남길 수 있기 때문입니다.
수식(3)에서 k와 r이 다른 경우를 생각해보겠습니다. r에 의해서 위상은 이동하겠지만 위상의 이동과 상관없이 2π/N은 원을 360도를 동일한 조각으로 나눠서 당기는 형태 입니다. 예를 들어 N=2 인 경우 0도와 180도의 오일러 지수가 남게 되고 이는 결국 반대 방향이기 때문에 합하면 0이 됩니다.
0이 되지 않는 경우는 k와 r이 같은 경우 입니다. 둘이 같을 경우 수식은 아래와 같이 나옵니다.
수식(4)에 의해 최종적으로 ak는 아래와 같이 나옵니다.
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