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해당 글은 유투브 혁펜하임을 참조하였습니다.
푸리에변환 수식의 의미, 신호와 주파수 간의 관계(Fourier Transformer, FT)
수식 1은 푸리에변환 수식(Equation)이고 수식 2는 인버스(역) 푸리에 변환입니다. 수식의 전개는 링크를 참조하시길 바랍니다(https://scribblinganything.tistory.com/635). 앞서 수식 전개에서 설명하였듯이 푸리에 변환은 1대 1 변환이 가능 합니다. 즉, 시계 함수(Time Domain Function)에서 주파수 함수(Frequency Domain Function)로 상호 변환이 가능 합니다.
이번 시간에는 수식1의 의미에 대해 알아보겠습니다.
수식3은 벡터 내적 공간 (Vector Inner Product Space)을 입증하는 수식으로 0으로 수렴할 경우 해당 값은 직교성을 띈다고 했습니다. 만일 0이 아닌 위 식은 단순히 내적을 알려주는 식입니다. 즉, 두 신호의 관계성을 알려주는 것입니다(https://scribblinganything.tistory.com/628).
수식1의 푸리에변환 식은 x(t)의 신호와 오일러지수 e^(jwt)의 내적(Inner Product) 식으로 수식3의 구조를 가지고 있습니다. 의미는 x(t)라는 신호가 주파수 ω = 2πf 변수 값이 바뀌면서 각 주파수에 대해 어느정도 관련이 있는지를 알려줍니다. 주파수 f 가 1이면 1초에 1바퀴를 동작하는 의미이고 10이면 0.1초에 한바퀴를 동작하는 의미입니다. 수식1은 주파수라는 변수 f와 수식 x(t)의 상관성을 보여주는 것입니다. 수식4의 < > 괄호는 내적을 의미 합니다.
사각파(Squre Wave) 푸리에 변환 하기 예제
위 그림과 같이 T 크기를 가지는 사각파를 Fourier Transformer를 진행해 보겠습니다.
그림의 사각파를 푸리에 주파수 변환을 하면 수식5와 같이 전개 됩니다.
일반적인 sinc(x) 함수의 그림은 위와 같습니다. 이를 수식5에 대입해서 생각하면 대부분의 신호가 저주파에 모여있음을 알 수 있고 전 주파수에 어느정도 값이 지속적으로 있음을 알 수 있습니다.
즉, 사각파의 주파수 성분은 저주파에 다있고 갑작스럽게 올라가는 부분에 의해서 전 주파수 성분을 어느정도 포함하게 되는 것입니다.
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