이산 시간 푸리에 변환 수식 전개하기(Discrete Time Fourier Transform)

 

목차

 

 

해당 포스트는 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성하였습니다.

 

 

이산 시간 푸리에 변환(DTFT) 수식 전개하기

앞장에서 이산 시간 푸리에 시리즈(Discrete Time Fourier Series, DTFS)의 수식 및 전개 방식에 대해 알아보았습니다. 이번에는 앞서 DTFS의 계수를 통해 DTFT를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 

 

수식(1)

 

수식(1)은 푸리에 시리즈(Discrete Time Fourier Series, DTFS) 계수에서 1/N을 계수쪽으로 넘긴 수식입니다. 

 

변환과 시리즈의 차이는 변환은 비주기(Non periodic, aperodic) 함수까지 신호를 처리할 수 있다는 점입니다. 즉, 수식(1)에서 N 값을 무한대로 보내 보겠습니다. 

 

 

이때 발생하는 일과 조건을 아래와 같이 걸겠습니다.

 

 

1. xn 함수가 비주기 함수가 됩니다. 

 

 

2. akN을 아래와 같이 X라는 주파수 성분을 가진 함수 형태로 정의 합니다. 

 

 

3. 아래와 같이 X 함수의 변수의 범위는 0~2π가 됩니다. 이유는 N은 무한대로 가는 값이고 k는 <N>이므로 예를 들어 0에서 n-1의 정수 값을 가져오면 0에서는 0이고 n-1에서는 무한대이므로 N과 같이 없어져서 2π만 남게 됩니다. 즉, 0~2π 범위를 가지는 오메가 값으로 변환이 가능 합니다. 

 

 

 

 

위 조건을 이용해서 수식(1)를 아래와 같이 무제한으로 보내서 비주기 함수로 만들어 보겠습니다. 

 

수식(2)

 

만일 lim 시그마의 값이 분모에 0으로 수렴하고 수렴하는 값을 함수로 y축 값을 표현하는 형태이면 적분이기 때문에 integral 형태로 표현이 가능 하지만 위 형태는 0으로 수렴하는 분모가 없으므로 해당 식 자체가 아래와 같이 푸리에 변환 값으로 최종적으로 나옵니다.

 

 

수식(2)는 아래 수식(3)과 같이 최종적으로 DTFT으로 나옵니다. 

 

 

수식(3)

 

 

DFTT의 특징은 X(Ω)는 아래와 같이 2파이 주기를 가지게 됩니다. 

 

 

 

 

 

역 이산 시간 푸리에 변환(Inverse DTFT) 수식 전개하기

수식(4)

앞서 포스트에서 구한 이산시간 푸리에 시리즈(DTFS)로 역변환(Inverse Transform)을 구해 보겠습니다. DTFS 수식(4)를 아래와 같이 수정 해봅니다. 

 

수식(5)

 

그리고 수식(5)를 아래와 같이 비주기 신호로 바꿔 줍니다. 

 

수식(6)

 

수식(6)은 아래와 같이 오메가 식으로 바꿀 수 있습니다. 즉, 2π/N은 N이 무한대로 가면서 0으로 수렴하고 시그마 안에 2π/N 제외 값은 함수처럼 동작하므로 integral로 표현이 가능 합니다. 

 

수식(7)

 

 

예를 들어 그래프의 형태에서 보면 수식(7)은 아래와 같이 표현 됩니다. 

 

Ω0 단위로 움직이게 됩니다. kΩ0는 앞서 DTFT에서 설명한것과 같이 범위가 0~2π 인 Ω로 표현 가능 합니다. 

 

최종적으로 역 이산시간 푸리에 시리즈(IDTFS)는 아래와 같이 표현 됩니다.