[푸리에 변환]미분, 적분 방정식 주파수 변환 문제 풀이

 

목차

 

 

해당 포스트는 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성하였습니다.

 

미분식 dx(t)/dt 푸리에 변환(Fourier Transform)하기

미분식 dx(t)/dt를 푸리에 변환 수식으로 전개해서 푸는 방법 보다는 역푸리에변환(Inverse Fourier Transform)을 이용해서 쉽게 풀이할 수 있습니다.

 

 

수식(1)

 

수식(1)은 역푸리에 변환 수식입니다. 푸리에 변환은 1대1 변환이 가능하기 때문에 역푸리에 변환값을 구하면 변환 전 값을 알 수 있습니다.

 

 

수식(1)을 t에 대해 미분하겠습니다. 수식(1)의 우변은 오메가(ω)로 적분 되기 때문에 오일러 지수의 t 부분만 미분을 하면 됩니다. 

 

수식(2)

수식(2)에서 빨간색 부분이 미분식에 1대1 매칭이므로 미분식에 대한 푸리에 변환 값은 jwX(w)가 됩니다.

 

 

 

 

 

미분식 dx(t)/dt 푸리에 변환(Fourier Transform)하기

 

미분방정식(LCCDE)에 대해 왜 사용하는지와 언제 사용하는지에 대해 앞서 알아보았습니다(https://scribblinganything.tistory.com/618).

 

 

수식(3)

위와 같은 수식(3)의 미분 방정식이 있을 경우 입력을 x 출력을 y로 생각했을 때 해당 시스템이 LTI 시스템을 통과할 경우 전달 함수(H) 또는 임펄스 응답(Impulse Response, H)를 구할 수 있습니다. 이를 구하는 방법에 대해 풀이 해보겠습니다. 

 

 

수식(4)

수식(3)을 수식(2)를 사용해서 푸리에 변환하면 수식(4)와 같이 나옵니다. 

 

전달함수(임펄스 응답)은 아래와 같습니다. 

 

수식(5)

 

수식(5)는 주파수에서의 전달함수 값입니다. 수식(5)의 값을 다시 역푸리에변환을 하면 아래와 같이 나옵니다. 

 

 

수식(6)

 

 

역변환은 푸리에 변환 테이블을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

 

적분식 푸리에 변환(Fourier Transform)하기

 

수식(7)

수식(7)과 같은 적분식을 푸리에 변환하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 

 

 

수식(8)

 

수식(7)은 수식(8)과 같이 Step Function(스텝 함수) u(t)를 위와 같이 적분한 형태와 동일 합니다. 그리고 이는 컨볼루션(Convolution)의 적분식과 동일한 형태입니다. 

 

 

 

수식(9)

 

컨볼루션 값을 푸리에 변환하면 간단하게 주파수(Frequency)에서 곱의 형태로 표현 될 수 있습니다. 

 

 

수식(10)

스텝함수(Step Function, u(t))의 푸리에 변환을 변환 테이블에서 찾으면 수식(10)과 같습니다. 이를 수식(9)에 대입하면 최종적으로 아래와 같이 구할 수 있습니다.