푸리에 변환 테이블(Impulse, 델타함수, 컨볼루전, 컬레복소수, Duality) 증명

 

목차

 

 

해당 포스트는 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성하였습니다.

 

이번 내용은 주로 사용하는 함수의 푸리에 변환 값을 확인해 보겠습니다.

푸리에 변환은 아래 수식(1)과 같습니다.

수식(1)

변환 방법은 링크를 참조하시면 됩니다(https://scribblinganything.tistory.com/635).

 

 

 

 

델타함수(Delta Function, Impulse Fuction) 푸리에 변환

 

δ(t) 함수는 위와 같이 0에서 임펄스(Impluse)인 신호 입니다. 이를 푸리에 변환(Fourier Transform)을 하게 되면 아래와 같습니다. 

 

수식(2)

 

무한대 적분이라도 나머지 구간에서는 0이고 0에서 무한대 임펄스 적분이므로 해당 값은 1이 됩니다. 즉, 모든 주파영역에 1의 값을 가집니다. 

 

 

 

 

x(t-t0)함수 푸리에 변환

 

역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)은 아래 수식(3)과 같습니다.

 

수식(3)

 

푸리에 변환은 1대1 변환이 가능하다는 사실을 앞서 포스트에서 배웠습니다. 

 

수식(4)

 

 1대1 변환 성질을 이용해서 수식(4)와 같이 만들 수 있습니다. 

 

 

수식(5)

우변의 수식(5) 는 수식(4)에서 x(t-t0)와 역변환 관계로 연결되어 있습니다. 즉 x(t-t0)의 푸리에 변환이 수식(5)가 됩니다. 

 

 

 

 

컨볼루전(Convolution, 콘볼루션) 푸리에 변환

 

수식(6)

수식(6)은 x(t)함수와 임펄스 응답함수 h(t)의 컨볼루션입니다. 해당 수식에 대한 내용은 링크를 참조하시면 됩니다(https://scribblinganything.tistory.com/607). 

 

수식(7)

 

수식(6)을 푸리에 변환하면 수식(7)과 같이 나옵니다. 

 

수식(8)

앞서 수식(5)를 이용하면 수식(8)을 만들 수 있습니다. 수식(8)을  수식(7)에 대입하면 아래와 같습니다. 

 

 

수식(9)

 

 

 

 

x(-t)푸리에 변환

 

 

역변환 수식(3)를 다시 이용하겠습니다. 

 

수식(10)

 

수식(4)에서 주파수 오메가(ω)가 무한대로 적분하는 것으로 -ω => ω 로 바꾸는게 가능합니다.

 

수식(11)

 

위와 같이 바꿀 수 있습니다. x(-t)의 주파수 변환은 X(-w)가 됩니다. 

 

 

 

 

컬레복소수(Complex conjugate), Duality 푸리에 변환

 

수식(12)

 

위 수식은 앞서 방법들을 다 사용해서 X*(-w)가 x*(t)의 푸리에 변환 결과임을 증명하였습니다. 

 

 

 

이번에는 x(t)를 푸리에 변환한 X(w)를 다시 시함수로 바꿔서 X(t)를 푸리에 변환한 값에 대해 알아보겠습니다. 

 

 

위와 같이 역변환 수식을 변수 t를 w로 바꾸고 w는 t로 바꿀 수 있습니다. 

 

수식(13)

 

수식(13)을 다시 아래와 같이 w = > -w로 변경하면 수식(14)가 나오고 결국 X(t)의 변환은 2πx(-ω)가 됩니다. 

 

수식(14)

 

수식(15)

 

 

 

곱셈(Multification) 푸리에 변환

 

 

 

앞서 구한 2개의 수식을 이용해서 아래와 같이 수식(16)을 만들 수 있습니다. 

 

수식(16)

 

수식(16)에서 분자 분모에 2pi를 곱하면  수식(17)이 나옵니다. X(t), H(t) 의 푸리에 변환값이니 이를 다시 소문자로 수식 (18)과 같이 표현할 수 있습니다. 

수식(17)

 

수식(18)