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해당 글은 유투브 혁펜하임을 참조해서 작성했습니다.
푸리에 시리즈 계수 ak 값 유도
앞서 푸리에 시리즈(Fourier Series)의 정의와 수식에 대해 알아보았습니다(https://scribblinganything.tistory.com/629). 푸리에 시리즈의 수식은 아래와 같습니다.
이번 포스트에서는 an의 값을 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 여기서 a0는 시작점 상수 값으로 유도에는 필요가 없어서 삭제하고 진행하겠습니다.
식(1)은 x라는 T0 주기를 가지는 신호를 푸리에시리즈 변환을 통해서 표현했습니다. 식(1)을 오일러 지수와 내적(Inner Product) 해주겠습니다. 내적을 하는 이유는 내적 수식을 적용해서 결과 값으로 an(푸리에 계수)를 구할 수 있었기 때문입니다. 물론 그 안에 수학적인 깊은 원인이 있겠지만 저의 관점에서는 오일러 지수를 내적하다보니 an에 쉽게 접근이 가능 했습니다.
식(2)는 x 주기 신호와 오일러(Euler) 지수를 내적한 수식 입니다. 내적 수식은 https://scribblinganything.tistory.com/628 링크를 참조하시면 됩니다.
내적 수식의 링크에 오일러 지수와 적분한 수식에 대한 설명이 있듯이 n 과 m이 다를때는 적분 값이 0이 됩니다. n과 m이 같을때는 an만 남고 식은 아래와 같이 정리가 됩니다.
최종적으로 m을 k로 바꾸면 아래와 같이 푸링에 계수가 구해 집니다.
푸리에 계수의 의미
식(4)의 푸리에 계수를 잘 살펴 보면 아래와 같이 내적으로 표현이 됩니다.
푸리에 계수는 주기 신호 x와 오일러지수의 내적관계를 의미 합니다. 오일러 지수는 k 값에 따라 주파수 성분이 다른 원 운동입니다.
내적이란(https://scribblinganything.tistory.com/622) 두 신호의 관계를 cos 으로 표현했고 두 신호의 관계가 높을 수록 내적 값이 커집니다.
즉, 푸리에 계수는 해당 신호와 kW가 나타내는 주기 신호와 가까울 수록 상관관계를 나타내는 척도가 되는 것입니다. 푸리에 시리즈는 식(1)에서처럼 각 주파수와 상관관계를 나타내는 계수의 곱을 합하여 주기 신호를 포현 하는 것입니다.
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