연속시간 컨볼루션이란?(Continuous Time Convolution)

 

목차

 

 

 

 

 

해당 내용은 혁편하임 신시 강의를 참조해서 작성하였습니다.

 

연속 시간의 임펄스(Impulse) 함수로 표현하기

앞서 이산 시간(Discrete time)에서의 임펄스 함수로 컨볼루션(Convolution)을 표현하는 방법에 대해 알아보았습니다. 연속시간(Coninuous time)에 대해 컨볼루션을 표현하기 위해서는 연속 시간에서의 임펄스 함수가 필요 합니다. 

 

 

연속시간에서의 임펄스 함수는 위와 같이 박스 형태로 표현되고 델타(△)가 0으로 가까워 지면서 이산 시간의 임펄스 함수처럼 선에 가깝게 변하게 됩니다. 

 

 

위와 같이 x(t) 함수를 임펄스 막대기로 표기가 가능 합니다. 

 

수식1

 

x(t)는 위와 같이 수식으로 정리될 수 있습니다. 여기서 델타(δ)에 델타(Δ)를 곱합 값은 사각형의 넓이가 아닌 높이 정보입니다. 이산에서 임펄스가 한 포인트가 1을 의미하는 것과 같습니다.

 

 

 

 

연속시간 컨볼루션 구하기

 

위 수식1에서 lim과 sigma는 적분식으로 표현이 됩니다. 그리고 kΔ는 타우(τ) 값으로 임의로 정의해서 위와 같이 표기할 수 있습니다. 

 

최종적으로 연속 시간에서의 컨볼루션은 LTI 시스템에서 임펄스 신호의 응답 h(t)만 알면 구할 수 있습니다.

 

즉, 입력신호 x(t)를 임펄스 신호의 형태로 바꿔 주고 임펄스의 응답을 넣음으로서 출력 신호 y(t)를 구할 수 있게 되는 것입니다.