푸리에 급수를 사용하는 이유 (고유함수(eigen function), Fourier series, 통신, 필터, LTI)

 

목차

 

 

해당 글은 유투브 혁펜하임 강의 내용을 참조로 작성하였습니다.

 

 

푸리에 급수와 고유 함수

푸리에 급수를 실제 우리 생활에 사용하는 주요 이유를 알기 위해서 우선 수학적인 수식으로 푸리에 급수(Fourier Series)와 고유함수(Eigen Function)과 시간불변 선형 시스템(Linear Time Invariant)에 대해 이해를 해야합니다. 

 

앞서 공업수학 포스트들에서  푸리에 급수(Fourier Series)와 시불변 선형 시스템(Linear Time Invariant)에 대해서는 설명을 하였습니다. 

 

 

식(1)

 

푸리에 시리즈는 위와 같이 어떠한 주기함수 f를 Sinusoidal 주기 함수의 합으로 표현할 수 있습니다.

 

여기서 오일러 함수 e를 아래와 같이 시불변 선형 시스템(Linear Time Invariant)에 통과 시켜 보겠습니다. 그리고 해당 LTI 시스템의 Impulse response를 h(t)라고 보면 아래와 같이 정리 됩니다. LTI 시스템의 컨볼루션(Convolution)에 대한 수식은 아래 링크를 참조하시면 됩니다(https://scribblinganything.tistory.com/607).

 

식(2)

위 그림에서 오른쪽 끝의 수식을 보면 결국 x(t)에 타우 공간의 적분 값을 곱한 것인데 타우 공간의 적분 값은 결국 상수로 나오기 때문에 입력과 출력의 관계가 입력 값에 일정 상수를 곱한 것이기 때문에 방향 정보는 변하지 않고 크기만 곱으로 표현 되는 고유 함수로 표현이 됩니다. 

 

 

이와 같이 이번에는 푸리에 급수(Fourier Series)를 입력으로 넣어보겠습니다.  입력 값은 아래와 같습니다.

 

식(3)

 

앞서 식(2)와 같이 LTI 시스템을 통과 시킨 출력은 아래와 같이 나옵니다.

 

 

식(4)

 

 

위 식(4)의 출력 부분 중 적분 영역을 아래와 같이 nw0 의 함수로 바꿔 보겠습니다.

 

식(5)

 

즉, 입력 값에서 출력값이 고유 함수를 가지면서 주파수 성분의 크기를 변경할 수 있는 H 함수가 만들어지게 된 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

푸리에 급수를 사용하는 이유

 

 

1. 주파수 분석(Frequency Analyzer)

 

첫번째 이유는 저희같은 공대생들은 신호의 주파수 분석을 위해서 푸리에 시리즈를 사용합니다. 일반 신호로 알아보기 힘든 현상을 주파수에서 이해가 되는 경우가 많기 때문입니다. 가령 제품을 제작할 때 공진(Resonance)에 대한 이해를 해야지 제품이 망가지지 않고 오래 사용할 수 있습니다. 

 

공진은 결국 주파수 분석과 관련 됩니다.

 

 

 

2. 산업에서의 필요

 

가장 많이 드는 예가 우리의 일상에 라디오, 티비, 핸드폰입니다. 만일 시간으로 해당 신호들을 나눠서 사용하게 된다면 굉장히 비효율적이고 느린 신호 전달이 될 것입니다. 하지만 푸리에 시리즈 덕분에 앞서 고유 함수를 구한 것과 같이 주파수 신호의 크기를 변경하고 각 티비나 라디오나 핸드폰은 원하는 주파수 영역만을 앞서 식(5)의 H 함수를 사용해서 가져올 수 있게 된 것입니다.

 

즉, 한 신호에 여러 주파수의 신호를 보내고 받는 입장에서 식(5)의 H 함수로 가져오는 것입니다.

 

 

 

 

3. 필터(Filter)에서의 사용

 

이부분도 사실 2번의 내용과 중복됩니다. 엔지니어들은 주파수 분석을 위해 필요 부분 만을 필터링 처리하는데 해당 과정이 결국 식(5)의 H함수와 같은 방식으로 진행되기 때문입니다. 

 

 

그 외에도 굉장히 많은 분야에서 푸리에 공식이 사용됩니다. 하지만 위 내용들은 제가 직접 사용하거나 공부하면서 피부로 느꼈던 부분에 대해 정리해 보았습니다.