벡터, 내적공간 이란? (Vector, Inner product space)

 

목차

 

 

 

해당 포스트는 혁펜하임 유투브 강의를 기반으로 작성하였습니다.

 

벡터(Vector)란?

 

거리, 무게, 속력 등과 같이 크기 정보만을 가지는 1차원의 양(Quantity)을 스칼라(Scalar)라고 합니다. 벡터란 2 개 이상의 요소들로 어떠한 양을 가지는 의미 합니다.

 

아래와 같은 양은 벡터 입니다.

 

• 크기, 방향의 양을 가지는 벡터 : 힘, 모멘트, 변위, 속도, 가속도, 운동량, 열유동
• 실수, 복소수, 함수의 양을 가지는 벡터 : 좌표, 벡터 함수, 오일러 함수
• 대수적 성질을 공리로 사용한 벡터 공간 내의 대상을 추사화 : 무한 실수 수열,연속함수, 행렬(matrix)

 

 

 

벡터를 수식으로 정리하면 아래와 같습니다.

 

• Addition:  Given two elements x, y in X, one can form the sum x+y, which is also an element of X.
• Inverse: Given an element x in X, one can form the inverse -x, which is also an element of X.
• Scalar multiplication:  Given an element x in X and a real number c, one can form the product cx, which is also an element of X.

위의 3가지 동작에 대해 아래의 3가지 공리(Axiom)들이 만족해야하는 것입니다.

 

 

1. Additive axioms.  For every x,y,z in X

x+y = y+x.

(x+y)+z = x+(y+z).

0+x = x+0 = x.

(-x) + x = x + (-x) = 0.

 

2. Multiplicative axioms.  For every x in X and real numbers c,d

0x = 0

1x = x

(cd)x = c(dx)

 

3. Distributive axioms.  For every x,y in X and real numbers c,d

c(x+y) = cx + cy.

(c+d)x = cx +dx.

 

 

 

간단히 설명하면 어떤 닫힌 집단(Closed Set)에서 더하거나 빼거나 곱해도 닫힌 집단의 형태로 나오는 것을 의미 합니다.

 

위와 같은 오일러 형태도 오일러에 어떤 값을 곱하거나 서로 빼거나 더해도 결국 오일러 형태로 표현됩니다. 이를 벡터 값이라고 할 수 있습니다.

 

 

 

 

내적 공간(Inner Product Space)이란?

내적 공간이란 내적(Inner Product)을 만족하는 벡터 공간(Vector Space)를 의미 합니다. 내적에 대해서는 https://scribblinganything.tistory.com/622 링크를 참조 하시면 됩니다. 벡터 공간이란 앞서 벡터 값이 들어가 있는 닫힌 공간(Cloased set)을 의미 합니다. 

 

만일 우리가 알고 있는 어떠한 벡터 값들이 내적공강에 존재할 경우 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도를 알 수 있게 됩니다. 

 

 

 

위키 피디아에서는 내적 공간을 아래와 같이 정의 하고 있습니다.

 

 

 

간단하게 위의 공리들을 하나의 수식으로 정리하면 아래와 같습니다. 

 

위 주기에 대한 적분이 0으로 수렴하면 a와 b함수는 내적공간의 공리를 만족하게 되는 것입니다. 즉, 직교성(Orthogonality)를 가지게 되는 것입니다. 

 

 

오일러(Euler) 수식이 내적 공간에 존재하는지에 대해 증명을 해보겠습니다.

 

 

즉, a, b가 같지 않은 모든 오일러 수식은 직교성(Orthogonality)을 가진다는 사실이 증명 됩니다.