[선형대수학]선형 독립이란? 직교와의 차이, 기저(Linearly independent, Orthogonality, Basis)

 

 

해당 포스트(Linear Algebra)는 유투브 혁펜하임의 강의 내용을 듣고 제 생각대로 정리한 내용이라 틀린 내용이 있을 수 도 있습니다.

 

 

 

 

 

 

[선형대수학]선형 독립이란? 직교와의 차이

 

 

수식1

 

수식1과 같이 선형 조합(Linear Combination)으로 표현한 벡터(Vector)의 합이 0이되지 않는 조합으로만 이루어 진다면 이는 선형 독립 벡터(Linearly Independent Vector)라고 합니다. 

 

수식2

 

예를 들어 수식2와 같은 벡터는 스칼라를 1과 -1/3으로 곱해서 더하면 0이기 때문에 선형독립이 아닌 벡터 입니다.

 

 

수식3

 

수식3과 같은 경우는 스칼라(Scalar) 값을 바꿔도 0을 만들 수 없기 때문에 x, y 벡터(Vector)는 선형 독립입니다. 

 

 

 

 

 

 

선형 독립과 직교의 차이와 특성

 

 

 

 

 

그림과 같이 a, c와 같이 직각을 이루는 벡터를 직교(Orthogonal)하다고 합니다. 그리고 a, b나 b, c와 같이 선형적으로 독립했을 경우를 선형 독립한다고 합니다. 

 

 

 

 

 

즉, 선형독립이 직교를 포함한 의미가 됩니다.

 

 

선형독립과 직교 벡터의 특징은 앞서 선형 조합 수식1에 의해 벡터의 수 만큼의 공간을 표현할 수 있습니다. 2개의 벡터로 2차원 평면을 3개의 벡터로 3차원 공간을 표현할 수 있습니다.

 

 

그리고 해당 표현 공간을 앞서 Span이라고 표현했습니다. 그리고 이러한 공간을 표현해 줄 수 있는 벡터들의 모음을 기저 벡터(Basis Vector)라고 합니다.