해당 포스트(Linear Algebra)는 유투브 혁펜하임의 강의 내용을 듣고 제 생각대로 정리한 내용이라 틀린 내용이 있을 수 도 있습니다.
행렬(Matrix) 곱셈의 의미 : 내적(Dot Product)
X와 Y라는 행렬이 있습니다. X는 1 x n의 행벡터 x1~xn으로 구성되어 있습니다. Y는 n x 1의 열벡터 y1~yn으로 구성되어 있습니다.
XY의 행렬곱은 수식1과 같이 정의 됩니다.
곱에 의한 수식을 보면 앞서 내적에서 공부한 내적 수식의 형태로 표현이 될 수 있음을 알 수 있습니다(https://scribblinganything.tistory.com/671). 즉, 행렬의 벡터들은 서로의 상관 관계를 알려주는 내적으로 곱이 표현됨을 알 수 있습니다.
행렬(Matrix) 곱셈의 의미 : Rank 1 Matrix 합
이번에는 X를 열벡터로 표현 하고 Y를 행벡터로 표현하겠습니다.
수식2와 같이 X는 열벡터(n x 1)와 Y는 행벡터(1 x n)로 구성될 경우 두 벡터의 곱은 Rank 1 행렬(n x n)로 나오고 Rank1 행렬의 합으로 표현 됩니다.
행렬(Matrix) 곱셈의 의미 : Column Space
수식3과 같이 X행렬에 a라는 벡터를 곱하겠습니다. X행렬은 열벡터(n x 1)로 구성됩니다. 그리고 열벡터를 스칼라(Scalar) 값 a로 곱해 줍니다.
Column Space(열공간)이라는 의미는 각 x1~xn이라는 열벡터에 임의의 스칼라가 곱해졌으니 각 각이 표현할 수 있는 열에 의해 생기는 공간을 의미 합니다.
간단한 예로 설명을 드리면 아래 수식4를 살펴 보겠습니다.
수식4에서 행렬값 원소 a33에는 0이 들어가 있습니다. 열벡터 두 개에만 값이 들어가 있고 이를 벡터와 곱해줍니다. 즉, x1이라는 값과 x2라는 값에 의해 2차원의 평면을 다 표현할 수 있습니다. 이 공간을 위 수식4에서 만들어내는 열공간이라고 합니다.
행렬(Matrix) 곱셈의 의미 : Row Space
개념은 열공간과 동일합니다. 행공간은 행벡터와 스칼라의 곱으로 행벡터에 의해 표현되는 공간을 의미 합니다.
Linear Combination과 Span이란?
선형 조합(Linear Combination)이란 수식6과 같이 스칼라와 벡터의 곱을 합한 수식을 의미 합니다. Span이란 벡터들이 표현할 수 있는 영역을 의미 합니다.
앞서 열공간처럼 열공간이란 결국 열벡터와 스칼라가 곱해져서 표현할 수 있는 공간을 의미 하듯이 Span이라 해당 표현 영역을 의미 하는 것입니다.
예를 들어 수식7과 같이 벡터가 있을 경우 선형 조합을 하여 표현할 수 있는 Span은 2차원 면이 됩니다.
수식8과 같은 2개의 벡터로 표현이 가능한 Span은 하나의 선만 되게 됩니다.