[선형대수학] 놈(Norm)이란? 벡터 길이측정(Vector, l1, l2, Infinity)

 

목차

 

 

해당 포스트(Linear Algebra)는 유투브 혁펜하임의 강의 내용을 듣고 제 생각대로 정리한 내용이라 틀린 내용이 있을 수 도 있습니다.

 

 

 

Norm(놈)이란?

 

저희가 벡터(Vector)의 길이를 잴 때 사용하는 Norm은 2-Norm, L2-Norm 이라고도 부릅니다. 

 

 

위와 같이 x벡터의 Norm은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

 

 

수식1

위 수식1과 같이 2의 제곱으로 표현되기 때문에 2-Norm 이라고도 불립니다. 그리고 일반적인 벡터의 크기는 2-Norm으로 구해집니다. 수식1과 같이 절대값 아래에 2를 넣거나 생략이 가능 합니다. 

 

 

 

 

 

1-Norm, P-Norm, Infinity-Norn 이란?

 

수식2

 

1 Norm은 수식1에서 2를 단순히 1로 바꾸기만 하면 됩니다. 위 수식2를 참조하시면 됩니다. 동일한 방법으로 P-Norm도 아래와 수식3 같이 구할 수 있습니다. 

 

 

 

 

수식3

 

 

Infinity-Norm은 수식3에서 P 값을 무한대로 보내주는 것입니다. 지수승으로 무한하게 증가한다는 의미는 x1~xn 요소 중에 하나의 값만이 남고 나머지는 하나의 가장 큰 값에 비교해서 상대적으로 무한대로 작아지므로 의미가 없어지게 됩니다.

 

그러므로 최종적인 수식은 아래와 같이 남게 됩니다.

 

 

수식4

 

 

 

 

 

2차원 벡터의 Norm 그래프 비교 

 

수식5

 

수식5와 같이 크기가 1이고 원소를 2개 가진 벡터의 Norm의 종류에 따른 비교를 해보겠습니다. 

 

 

 

 

검정색원은 2-Norm가 1인 벡터들을 (0,0)에서의 벡터들을 모은 그림입니다.

빨간색사각형은 Infinity-Norm이 1인 벡터들을 (0,0)에서의 벡터들을 모은 그림입니다.

녹색사각형은 1-Norm이 1인 벡터들을 (0,0)에서의 벡터들을 모은 그림입니다.