[라플라스 변환] Laplace Transform 이란? 기본 개념 익히기

 

목차

 

 

해당 내용은 Michel van Biezen 이란 분의 유투브를 통해 공부해서 작성합니다.

 

 

[라플라스 변환] Laplace Transform 이란? 

갑자기 라플라스(Laplace transform)의 원리가 궁금해져서 생각을 정리할 겸 포스트를 작성하게 되었습니다.

 

라플라스 변환의 기본 정의는 시간 도메인(Time domain)의 함수(Function)를 복소수 주파수 도메인(Complex Frequency Domain)의 함수로 변환해주는 수학적인 장치(Tool) 입니다. 

 

해당 정의에 대한 증명 및 전개는 향후 포스트에서 하나씩 작성하겠습니다. 이번 시간에는 라플라스 변환의 정의 및 특성에 대해 살펴 보겠습니다. 

 

라플라스 변환(Laplace transform)을 다시 정의 하면 시간 영역에서의 미분 방정식을 쉽게 주파수의 함수로 표현하는 수학기법입니다. 그리고 주파수에서 구한 함수는 다시 Inverse Laplace Transform을 사용해서 미분식이 아닌 원식으로 복구가 가능 합니다. 

 

 

 

 

[라플라스 변환] Laplace Transform 전개 과정

 

앞서 라플라스는 시간도메인의 미분식을 변환하는 툴이라고 하였습니다. 사용은 위와 같이 합니다. 

 

1번 과정: 라플라스 변환

2번 과정: Y(s)에 대해 풀기

3번 과정: 분모 나누기

4번 과정: 역라플라스 변환(Inverse Laplace Transform)

 

 

 

 

 

[라플라스 변환] Laplace Transform 특징 

라플라스 변환의 특징에 대해 간략하게 살펴보고 왜 이러한 특징이 있는 지에 대해서는 차후에 하나씩 증명하도록 하겠습니다. 

 

앞서 변환을 통해 복소수 도메인에서의 s는 아래와 같이 표현됩니다. 

 

s = α + jω

 

 

예를 들어 아래 수식을 시간 도메인에서 그리면 아래와 같이 그려 집니다. (x축은 t를 의미)

다시 이 수식을 라플라스 변환해주면 아래와 같이 나옵니다.

 

여기서 20은 ω(오메가) 값으로 주기를 의미 합니다. 그리고 α(알파)값은 3으로 decay 값 즉, 댐핑(Damping)을 의미 합니다. 

 

라플라스 변환을 통해 위와같이 알파와 오메가 값을 구해서 그래프로 표현이 가능 합니다. 알파값이 양수 이면 해당 그래프는 Decay 하고 음수이면 Growth 합니다. 그리고 오메가 값에 의해 주기가 결정됩니다.