LTI(Linear Time Invariant)란? 특징과 문제 풀이

 

목차

 

 

 

 

 

 

LTI(Linear Time Invariant)란?

LTI란 선형적(Linear)이고 시간에 불변(Time Invariant)한 시스템을 의미 합니다.

 

선형이란 아래의 두 특성을 가진 성질을 의미 합니다.

 

• Scaling
• Additivity

 

위 두가지 성질을 합쳐서 Superposition(중첩)의 성질이라고 부릅니다.

 

시불변(Time Invariant)란 시간에 관계없이 특정 입력에 대해서 동일 출력이 나옴을 의미 합니다. 

 

 

 

 

LTI 수식으로 풀이 하기: 선형성 검증

 

중첩(Superpostion) 성질에 대해 정리해보겠습니다. 

 

 

위와 같이 f라는 시스템에 x1, x2입력을 넣고 a1, a2 배수를 했을 때 출력도 동일하게 배수와 합으로 표현되면 선형 시스템이라고 부릅니다. 

 

 

선형 증명 예제1>>

위 시스템이 선형인지 증명해보겠습니다. 입력 값에 a1x1 + a2x2 를 넣고 a1y1 + a2y2로 나오는지 확인해보겠습니다.

 

위와 같이 같지 않으므로 선형이 아닙니다.

 

 

 

 

선형 증명 예제2>>

위 시스템이 선형인지 증명해보겠습니다. 입력 값에 a1x1 + a2x2 를 넣고 a1y1 + a2y2로 나오는지 확인해보겠습니다.

 

 

위 시스템은 선형 시스템입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

LTI 수식으로 풀이 하기: 시불변 검증

 

이번에는 TI(Time Invariant)를 증명 해보겠습니다.

 

TI는 시간(Time)에 대해서 shift를 진행해서 풀이를 해야 합니다.

 

 

TI 증명 예제2>>

앞서 선형이었던 시스템의 시불변을 검증해보겠습니다. 

 

 

시불변을 검증하므로 y 출력은 x입력이 t를 기점으로 위와 같은 순서로 처리해야 합니다. t에 t-t0을 넣어서 증명 합니다. 

 

 

위와 같이 입력의 time shift 만큼 출력 time shift를 하였으나 값이 일치 하지 않으므로 시불변이 성립하지 않습니다.