SDOF(Single degree of freedom, 단자유도계) 에서 Mass Spring Damper
SDOF에서 DOF 는 질량을 구성하는 입자의 위치를 정의하는 데 필요한 좌표계의 수를 의미한다. 그러므로 SDOF는 간단하게 한개의 축의 방향으로 설명이 된다. 그림1과 같이 무게 m 을 가진 물체가 힘 f 를 가하여 아래 위로 움직인다. 여기서 각 parameter에 대한 정의를 하면 아래와 같다.
- m : 무게, 단위는 [kg]
- c : 댐핑 계수, 단위는 [Ns/m]
- k : 스프링 계수, 단위는 [N/m]
- f : 가해지는 힘, 단위는 [N]
- x : 이동거리, 변위, 단위는 [m]
Mass Spring Damper 시스템 수식으로 이해하기
그림1을 수식으로 표현하면 그림2와 같이 된다. 입력으로 들어간 힘과 출력으로 나오는 힘은 동일하다. 여기서 m은 가속도에 비례하고 c는 속도에 비례하고 k는 이동거리에 비례한다.
이를 라플라스 변환하면 미분된 회수만큰 s를 곱하면 된다.
그림2의 수식을 입력으로 들어간 힘대 응답(이동거리)의 비로 표현하면 그림3과 같은 수식이 나온다. 이를 전달함수 H라 하고 FRF(Frequency response function)에 사용된다. 자세한 내용은 하단 링크를 참조하길 바란다.
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FRF (Frequency Response Function, 주파수 응답)이란?
주파수 응답 함수란? FRF은 특정 입력(힘)을 넣어서 나오는 반응(g)을 주파수 도메인에서 보는 것이다. FRF를 사용하는 목적은 시편의 공진주파수(Resonant frequency), 댐핑(damping), 모드 형태(mode shape)의
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Mass Spring Damper 시스템에서 제동비(damping ratio), 감쇠상수 란?
이번에는 그림2의 라플라스 변환한 수식에서 시간(t)가 0전에는 일정하게 주다가 시간 0인 지점에서 힘을 없앴다고 생각하자. 라플라스 적분은 시간 영역 0에서 무한대로 적분하므로 F(s) 는 0이 된다.
여기에 고유진동수(natural response), 제동비(damping ratio), 감쇠상수를 대입하면 그림4와 같은 수식이 나온다.
그림5는 그림4의 수식을 근의 공식을 이용해서 구한 근이다. 그리고 라플라스 변환 값을 시간 함수로 다시 바꾼 식이 그림5의 아래 식이다. 그림5에서 볼수 있듯이 라플라스 근에서 실수 부분은 시간함수에서 지수부분으로 넘어가서 시간이 지날 수록 파형을 감쇠시키는 역할을 한다. 그래서 감쇠상수라는 이름이 붙었다.
다음으로 허수 부분을 보면 제동비(damping ratio) 제타 값에 의해 허수가 되느냐 실수가 되느냐가 결정된다. 만일 제타가 1보다 작으면 허수가 살아남아서 사인파형을 만들고 이는 제동이 천천이 이루어지게 만든다. 만일 1보다 같거나 크게 되면 허수는 없어지고 지수부분에 값만 커져서 더 빠르게 감쇠하게 만드는 것이다. 제타가 0일 경우 감쇠상수도 0이 되어 실수 부분은 없어지고 사인함수 부분만 남게 되어 영원히 진동하게 만드는 것이다.
Mass Spring Damper 시스템에서 Damping 그래프
- Undamped
그림6의 왼쪽 그래프는 라플라스 평면이고 오른쪽은 시간에 따른 파형 그래프이다.
앞서 그림5의 근의 공식에서 제타값이 0인 경우이다. 이 경우 실수는 없어지고 허수만 남아서 감쇠없이 진동하는 파형을 가진다.
- Underdamped
그림7은 제타 값이 0보다는 크고 1보다는 작을 경우이다. 이 경우 실수와 허수 부분이 다 살아남아 사인파가 진동하면서 점차 감쇠하는 그래프가 나온다.
- Critically damped
그림8은 제타값이 1일 경우이다. 이때는 실수 부분만 남아서 빠르게 감쇠하는 그래프가 나옴
- Overdamped
그림9는 제타값이 1보다 클 경우이다. 루트안의 수가 음수가 되어 허수가 실수가 된다. 실수의 추가분에 의해 Critically damped 된 파형과는 유사하지만 느리게 수렴되는 형태가 된다.
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