주파수 응답 함수란?
- FRF은 특정 입력(힘)을 넣어서 나오는 반응(g)을 주파수 도메인에서 보는 것이다.
- FRF를 사용하는 목적은 시편의 공진주파수(Resonant frequency), 댐핑(damping), 모드 형태(mode shape)의 정보를 가져 오기 위함이다.
- FRF는 입력과 출력의 전달함수(Transfer function)으로도 불린다.
- FRF는 LTI (Linear time invariant) 시스템에서 입력과 출력의 관계이다.
간단히 말하자면 그림1처럼 임팩트 해머로 시편을 치면 임팩트 해머에 달린 센서에서 펄스 형태의 힘을 측정한다. 이상적인 펄스 신호는 주파수 전지역에서 일정한 크기를 가진 형태지만 현실은 그림1의 오른쪽 그림처럼 주파수가 올라가면서 힘이 떨어진다.
시편에 달린 가속도 센서에서는 펄스 힘에 대한 응답 신호를 측정한다. 그러면 그림1의 힘이 떨어지지 않는 지역 대비 응답 값을 얻을 수 있다. 이 비율이 주파수 응답함수가 되고 해당 시편의 고유 특성인 것이다.
FRF(frequency response function)로 부터 얻을 수 있는 정보
- 공진 주파수 : 해당 시편이 가진 공진 주파수 영역을 알 수 있다.
- 댐핑 (Damping) : 댐핑은 공진주파수의 peak 값에서 파워가 50% 빠지는 (-3dB)지점의 비율을 그림2와 같이 표현 한 것이 댐핑이다.
- 모드 형태(Mode shape) : FRF 의 주파수에 따른 진폭(amplitude)와 위상(Phase)의 변화를 주파수 별 모드 형태라고 한다. 모드 형태를 알면 시편에 들어오는 주파수에 따라 시편의 노드들이 어떻게 움직일지 알 수 있다.
EMA (Experimental Modal Analysis, 실험적 모달 분석)
EMA는 FRF를 구하기 위한 방법이다. 아래 예제와 같이 여러가지 입력으로 응답을 구할 수 있다.
- 기계적(Mechnical) 시스템 : 입력은 힘(force, N)가 되고 응답은 가속도(g), 속도(m/s), 변위(m)로 받는다.
- 음향(Acoustical) 시스템 : 입력은 공기같은 매질을 통한 소리의 전달이 될것이고 응답은 음압(sound pressure)가 된다.
- 기계적 + 음향 시스템
- 회전 기계(Rotational Mechanical) 시스템 : 입력은 토크(Nm)이고 응답은 회전체 변위(Degree)가 된다.
EMA의 특성은 OMA(Operational Modal Analysis)와는 다르게 사용자가 원하는 환경에서 테스트를 하기 때문에 입력값을 알 수 있다. 시편에 입력을 주는 방법은 아래 2가지 방법이 있다.
- 임팩트 해머 (Impact hammer) : 시편에 특정 부분에 힘(N)을 전달한다. 해머 앞단에 힘센서가 달려있어 입력값을 측정한다.
- 쉐이커 (Electro dynamic shaker) : 시편을 쉐이커에 올려 놓고 신호생성기 (signal generator)를 이용해서 원하는 파형으로 진폭을 만들어 준다.
측정(Response)은 가속도센서(accelerometer), 레이저(Laser), 스트레인게이지(Strain guage) 와 같은 센서를 이용해서 측정한다.
모드 형태 (Mode shape) 과 FRF 허수(Imaginary) 값
예를 들어 시편에 힘을 가하고 1, 2라고 하는 두개의 포인트에서 가속도 센서를 달아서 가속도 값을 측정한다고 하자. 사용자는 가속도 센서에서 나온 가속도 크기와 입력 대비 위상(phase)의 변화를 알 수있다.
진폭과 위상을 알고 있으므로 그림3과 같이 Complex 평면에서 표현이 가능하고 이에 따린 Real 값과 Imaginary 값을 가져 올 수 있다. Real 값과 Imaginary 값을 통해 아래와 같이 시편의 몇가지 특성을 알 수 있다.
- FRF의 real값이 0인 주파수값은 공진주파수이다.
- 공진주파수에서 FRF의 Imaginary 값의 절대값은 피크(peak) 값을 가진다.
- 그림4와 같이 빨간선과 녹색을 각기 시편의 다른 측정 지점이라고 하면 100hz에서는 두지점이 동일 방향으로 움직이고 200hz에서는 반대 방향으로 움직인다. 그리고 100, 200hz는 공진 주파수이다.
FRF의 정밀도
FRF는 앞서 얘기한 EMA(Experimental modal analysis)에서 구할 수 있다. 이는 EMA에서 입력값을 정확히 알고 응답 대비 입력값으로 구하기 때문이다. 그래서 FRF를 전달함수(Transfer fuction) 라고도 한다.
FRF는 그림5와 같이 보통 H로 표기한다. 이때 사용자는 입력값을 알고 있다. a+bj를 입력값이라고 하면 a-bj를 곱하면 분모부분은 허수(imaginary)가 없어진다. 분모를 Sxx로 표기하고 Autopower라고 명한다. 분자는 응답(response)값에 (a-bj) 값을 곱하여서 만들어진다. Sxy라고 하고 Crosspower라고 명한다.
FRF를 ADC하는 과정에서 아래와 같이 2가지 요소를 고려한다.
- Coherence
Coherence는 FRF를 동일 지점에서 동일 입력으로 여러번 측정하였을 경우 어느정도 응답의 지속성을 가지고 있는 지를 알려주는 수치이다. 값은 0~1이고 0은 응답값이 반복할때마다 다른 값이 나온다는 것이고 1일 경우는 지속성을 가지는 응답이 나온다는 것이다.
- Estimator
그림6과 같이 동일 주파수에서 입력값에 따라 출력값이 선형적으로 증가하면 좋겠지만 시편이 가진 비선형적인 특성들에 의해 약간의 변형(variant)가 발생한다. 그림처럼 점으로 표현한것이 실제 측정 값이고 빨간선이 Estimator를 사용해서 선형적으로 만든 것이다. Estimator에는 H1, H2, Hv와 같은 다양한 종류가 있는데 특성을 생각해서 적용해서 사용하면 된다.
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